《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第2课时)
第一部分内容：学 习 目 标
1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)
核 心 素 养
1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．
3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第二部分内容：自主预习探新知
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
2．二分法的定义
(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0.
(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间[a，b]的中点a＋b2对应的函数值，若fa＋b2＝0，取x1＝a＋b2，计算结束；若fa＋b2≠0，转到第三步．
第三步 若f(a)fa＋b2＜0，将a＋b2的值赋给b用a＋b2→b表示，下同，回到第一步；若fa＋b2f(b)＜0，将a＋b2的值赋给a，回到第一步．
初试身手
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
2．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)•f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)•f(b)＞0
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)•f(2)•f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第三部分内容：合作探究提素养
判断函数零点所在的区间
【例1】求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
[证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，
所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
规律方法
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
跟踪训练
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
对二分法概念的理解
【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
规律方法
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.
用二分法求函数零点
【例3】求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
规律方法
利用二分法求函数零点应关注三点
1要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
2用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
3根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.
课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)•f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
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函数与方程不等式之间的关系PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
2.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是( )
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
4.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，
当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点an＋bn2与真正零点的误差不超过
A．ε B.12ε
C．2ε D.14ε
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