《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
第一部分内容：学 习 目 标
1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)
2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)
核 心 素 养
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．
2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.
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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．算术平均值与几何平均值
对于正数a，b，常把a＋b2叫做a，b的_________，把ab叫做a，b的_________．
2．均值不等式
(1)当a＞0，b＞0时，有a＋b2 ab，当且仅当a＝b时，等号成立；
(2)均值不等式的常见变形
①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2ab；
②若a＞0，b＞0，则ab a＋b22.
初试身手
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2ab C．2ab D．a＋b
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：合作探究提素养
对均值不等式的理解
【例1】给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
规律方法
1．均值不等式ab≤a＋b2 (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，ab≤a＋b2的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.
利用均值不等式比较大小
【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2
C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
规律方法
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
利用均值不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.
规律方法
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
课堂小结
1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有ab≤a＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.
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均值不等式及其应用PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋1a≥2a•1a＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.( )
[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．
(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a•1a＝2成立．
(3)因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<ab<1
C.ab<a＋b2 D．ab>a＋b
3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4．设a>0，b>0，证明：b2a＋a2b≥a＋b.
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