《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x^(1/2)的图像,了解它们的变化情况及简单性质.
3.能运用幂函数的图像与性质解决相关问题.
4.会用信息技术作幂函数的图像.
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幂函数PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、幂函数的定义
1.请说出函数y=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗?
提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,自变量x为指数幂的指数.而函数y=x2中自变量x为指数幂的底数.y=x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数.
2.一次函数和二次函数都是幂函数吗?
提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.一次函数中的y=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数.
3.填空.
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
二、函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图像与性质
1.在同一坐标系内作出上述五种函数的图像.
回答以下问题:
(1)仅考虑第一象限内的图像,这五个函数的图像都过哪个定点?
提示:点(1,1).
(2)函数y=x,y=x2,y=x3, 图像所过公共点是哪个?
提示:点(0,0),点(1,1).
(3)这五个函数的图像均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗?
提示:上述五个函数的图像均不过第四象限,一般地,对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有y>0,故幂函数的图像不过第四象限.
2.(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?
提示:重要性质:①定义域为R,图像都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)内为增函数.
(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?
提示:重要性质:①定义域、值域为R,图像都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上是增函数.
(3)当x∈[0,+∞),α>1与0<α<1时,幂函数y=xα的图像有何不同?
提示:两者图像的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在[0,+∞)内都是增函数,但在[0,1]内前者比后者增得慢,在(1,+∞)上前者比后者增得快.
三、幂函数共有的性质
1.幂函数在(0,+∞)上都有定义.
2.幂函数的图像过点(1,1).
3.当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上单调递增.
4.当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
5.做一做:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则m的值为 .
答案:-1
解析:由题意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;
当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.
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幂函数PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
幂函数的概念
例1(1)已知点M(√3/3 "," 3)在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x^(1/2) D.f(x)=x^("-" 1/2)
(2)下列函数中,是幂函数的为_________.(填序号)
①y=x^(1/3);②y=2x2;③y=x^(2/3);
④y=x2+x;⑤y=-x3.
答案:(1)B (2)①③
解析:(1)设幂函数的解析式为y=xα,则3=(√3/3)^α,
∴α=-2.∴y=x-2.
(2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此①③是幂函数;②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由两个幂函数相加而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1的条件,因此不是幂函数.
反思感悟幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
比较大小
例2比较下列各组数的大小:
(1)1.5^(1/2),1.7^(1/2).
(2)(-1.2)3,(-1.25)3.
(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.
(4)0.53,30.5,log30.5.
分析:(1)借助函数y= x^(1/2);(2)借助函数y=x3;(3)借助函数y=5.26x和y=x-1;(4)利用中间值法.
反思感悟比较幂形式的两个数大小的常用方法:
(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性.
(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.
变式训练三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是 ( )
A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76
C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7
答案:D
解析:因为60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0,
所以log0.76<0.76<60.7.故选D.
幂函数的图像
例3 如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像,则( )
A.n<0,m>1
B.n<0<m<1
C.m>n>1
D.n>m>1
答案:B
解析:由幂函数的图像及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m>0,n<0.又由y=xm的图像与直线y=x比较,得0<m<1.
反思感悟幂函数图像的特征
(1)指数大于1,在第一象限的图像类似于y=x2的图像;
(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线;
(3)指数大于0小于1,在第一象限的图像类似于y=√x的图像;
(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线;
(5)指数小于0,在第一象限的图像类似于y=x-1的图像.
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幂函数PPT，第四部分内容：思维辨析
用待定系数法求幂函数解析式
典例已知幂函数f(x)存在反函数f-1(x),且f-1(3√3)=√3/3,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=x-3
C.f(x)=x^(1/2)D.f(x)=x^("-" 1/2)
方法点睛幂函数解析式y=xα中仅有一个常数α,故只需要一个条件即可确定幂函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)=n或图像过点(m,n)等.通常利用待定系数法求解,先设出幂函数的解析式f(x)=xα,再利用已知条件列方程求出常数α的值.
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幂函数PPT，第五部分内容：当堂检测
1.幂函数的图像过点(2,4),则它的单调增区间是( )
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,
所以f(x)=x2.故其单调增区间为[0,+∞).
答案:B
2.下列命题中,正确的是( )
A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线
B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)
C.若幂函数y=xα(α为常数)是奇函数,则y=xα是定义域上的增函数
D.幂函数的图像不可能出现在第四象限
答案:D
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