《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步PPT(平面向量的坐标及其运算)
第一部分内容：课标阐释
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.
2.理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.理解向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、平面向量的坐标
1.填空.
(1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.
(2)正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
(3)向量的坐标
一般地,给定平面内两个互相垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
2.点的坐标与向量的坐标有何区别?
提示:(1)向量坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量(OA) 的坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对于坐标原点的位置向量(OA) 的坐标;
(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y).
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);②ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
(3)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则
(4)向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
2.做一做:已知向量a=(8,1/2 x) ,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为( )
A.4 B.8
C.0 D.2
答案:A
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
平面向量的坐标表示
例1如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°, (OA) =a,(AB) =b.四边形OABC为平行四边形.求:
(1)向量a,b的坐标;
(2)向量(BA) 的坐标;
(3)点B的坐标.
求向量的模
例2设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于( )
A.4 B.5 C.3√5 D.4√5
分析:综合应用向量共线的坐标表示和向量模的坐标表示求解.
答案:D
解析:由y+4=0知
y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4√5 .故选D.
反思感悟求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a•a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=√(x^2+y^2 ).
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第四部分内容：思维辨析
共线向量问题——数学方法
典例已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
分析:法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;
法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
解:法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
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向量基本定理与向量的坐标PPT，第五部分内容：当堂检测
1.已知M(3,-2),N(-5,-1),若(MP) ⃗=1/2 (MN) ⃗,则P点的坐标为( )
A.(-8,1) B.(8,-1)
C.(- 1,- 3/2) D.(1, 3/2)
2.已知a=(4,2),b=(x,6),且a∥b,则x=( )
A.12 B.13 C.14 D.15
答案:A
解析:a=(4,2),b=(x,6),且a∥b,
则x1y2=x2y1即2x=24⇒x=12.
故选A.
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