《习题课 基本不等式的应用》一元二次函数、方程和不等式PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.
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习题课基本不等式的应用PPT，第二部分内容：自主预习
利用基本不等式求函数、代数式,及实际问题中的最值
1.(1)基本不等式√ab≤(a+b)/2应用的条件是什么?
提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.
(2)已知(a+b)/2≥√ab,其中a>0,b>0,若ab为常数P,那么a+b的值如何变化?
(3)若a+b为常数S,那么ab的值如何变化?
提示:当且仅当a=b时,ab有最大值1/4S2.
2.填空
公式的等价变形:ab≤(a^2+b^2)/2,ab≤ (a+b)/2 2.
3.做一做
(1)函数f(x)=x+ (x<0)的最大值为________;
(2)若正数a,b满足2a+3b=8,则ab的最大值是________.
解析:(1)由于x<0,所以f(x)=x+9/x=-["(-" x")" +("-" 9/x)]≤-2√("(-" x")•" ("-" 9/x) )=-6,当且仅当-x=-9/x,即x=-3时,函数取最大值-6.
(2)由于a,b>0,所以ab=1/6•2a•3b≤1/6•((2a+3b)/2)^2=8/3,当且仅当2a=3b,即a=2,b=4/3时,ab取最大值8/3.
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习题课基本不等式的应用PPT，第三部分内容：探究学习
探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值
1.通过变形后应用基本不等式求最值
例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.
(1)y=x+1/2x(x<0);
(2)y=1/(x"-" 3)+x(x>3);
(3)y=x(1-3x) 0<x<1/3 .
解:(1)y=x+1/2x=- (-x)+1/(2"(-" x")" ) ≤-2√("(-" x")•" 1/(2"(-" x")" ))=-√2,当且仅当x=1/2x(x<0),即x=-√2/2时,y取最大值-√2.
(2)y=1/(x"-" 3)+x=1/(x"-" 3)+(x-3)+3≥2√(1/(x"-" 3) "•(" x"-" 3")" )+3=5,当且仅当1/(x"-" 3)=x-3(x>3),即x=4时,y取最小值5.
(3)y=x(1-3x)=1/3×3x(1-3x)≤1/3× (3x+"(" 1"-" 3x")" )/2 2=1/12,当且仅当3x=1-3x,即x=1/6时,y取最大值1/12.
反思感悟 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).
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习题课基本不等式的应用PPT，第四部分内容：随堂演练
1.函数y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是( )
A.1/4 B.1/2 C.1 D.2
解析:∵0<x<2,∴y=2x(2-x)≤2 (x+2"-" x)/2 2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,函数的最大值是2.
答案:D
2.设x>0,y>0,x+y=4,则1/x+4/y的最小值为_______.
解析:∵x+y=4,∴1/x+4/y=1/4 1/x+4/y (x+y)=1/4 5+y/x+4x/y ,
又x>0,y>0,则y/x+4x/y≥2√(y/x "•" 4x/y)=4 当且仅当y/x=4x/y时取等号 ,
则1/x+4/y≥1/4×(5+4)=9/4.
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