《章末复习课》三角函数PPT

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同角三角函数基本关系和诱导公式的应用

【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.

(2)已知f(α)＝sin2π－α•cos2π－α•tan－π＋αsin－π＋α•tan－α＋3π.

①化简f(α)；

②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；

③若α＝－47π4，求f(α)的值．

[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．

母题探究

1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.

[解]　因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，

所以cos α＋sin α＞0，

又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×－18＝34，所以cos α＋sin α＝32.

2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos2α.

[解]　1fα＋cos2α＝1sin αcos α＋cos2α

＝sin2α＋cos2αsin αcos α＋cos2α＝tan2α＋1tan α＋1.

规律方法

1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

2．诱导公式可概括为k•π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．

三角函数的图象变换问题

【例2】(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.π2　B.π4

C．0  D．－π4

规律方法

1．函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法

2．对称变换

(1)y＝f(x)的图象――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象．

(2)y＝f(x)的图象――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象．

(3)y＝f(x)的图象――――→关于0，0对称y＝－f(－x)的图象．

三角函数的性质

【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.0，π2  B.π2，π

C.π4，π2  D.3π4，π

(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．

①求f(x)的单调区间；

②若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值．

[思路点拨]　(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．

(2)①由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z求增区间，

由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z求减区间．

②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．

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