《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的单调性)

《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的单调性)

第一部分内容：学 习 目 标

1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)

2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)

3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)

核 心 素 养

1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．

2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．

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函数的基本性质PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．增函数与减函数的定义

条件  一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时

         都有_____________   都有_____________

结论   那么就说函数f(x)在区间D上是___函数 那么就说函数f(x)在区间D上是___函数

思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？

提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

2．函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上_____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的________．

思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？

提示：不是．y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．

初试身手

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　)

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)

A．y＝－1x

B．y＝x

C．y＝x2

D．y＝1－x

3．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．

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函数的基本性质PPT，第三部分内容：合作探究提素养

求函数的单调区间

【例1】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；

(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

规律方法

求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；

(2)利用函数的图象，如本例(3)．

提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．

函数单调性的判定与证明

【例2】证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．

[思路点拨]　设元0<x1<x2<1―→作差：fx1－fx2

――→变形判号：fx1>fx2――→结论减函数

规律方法

利用定义证明函数单调性的步骤

1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.

2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.

3定号：确定fx1－fx2的符号.

4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.

提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.

函数单调性的应用

[探究问题]

1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？

提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a<b.

2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？

提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－b2a的大小．

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函数的基本性质PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)

(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．(　　)

(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　)

(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　)

(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(　　)

2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D．函数在区间[－5,5]上没有单调性

3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)

A．b＝3

B．b≥3

C．b≤3

D．b≠3

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