《诱导公式五、六》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解并熟记诱导公式五和六.
2.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题.
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诱导公式五六PPT，第二部分内容：自主预习
一、诱导公式五、六
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角π/2-α,角α与π/2+α的终边有什么关系?
(2)角α与角π/2-α的终边与单位圆的交点P,P1的坐标有什么关系?角α与角π/2+α的终边与单位圆的交点P,P2的坐标有什么关系?
提示:(1)角α与角π/2-α的终边关于直线y=x对称,角α的终边关于直线y=x的对称直线与角π/2+α的终边关于y轴对称.
(2)角α与角π/2-α的终边与单位圆的交点P,P1关于直线y=x对称;角π/2+α的终边与单位圆的交点P2的横坐标等于角α与单位圆的交点P的纵坐标的相反数;角π/2+α的终边与单位圆的交点P2的纵坐标等于角α与单位圆的交点P的横坐标.
2.填空
3.做一做
(1)若cos(π+α)=1/6,则sin(5π/2 "-" α)=__________;
(2)若sin(9π/2+θ)=1/3,则cos(2π-θ)=__________.
解析:(1)因为cos(π+α)=1/6,
所以-cos α=1/6,即cos α=-1/6.
于是sin(5π/2 "-" α)=sin(π/2 "-" α)=cos α=-1/6.
(2)因为sin(9π/2+θ)=1/3,
所以sin(π/2+θ)=1/3,因此cos θ=1/3,
于是cos(2π-θ)=cos(-θ)=cos θ=1/3.
答案:(1)-1/6 (2)1/3
二、诱导公式总结
1.我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改变?哪些函数名称改变了?
提示:公式一、二、三、四中函数名称没有改变,公式五、六中函数名称改变了.
2.填空
诱导公式一~六可以概括为:α+k· (k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
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诱导公式五六PPT，第三部分内容：探究学习
利用诱导公式化简或求值
例1计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)√(1+cos100"°" sin170"°" )/(cos370"°" +√(1"-" sin^2 170"°" ));
(3)(sin"(" α+nπ")" +sin"(" α"-" nπ")" )/(sin"(" α+nπ")" cos"(" α"-" nπ")" )(n∈Z).
解:(1)原式=sin260°-cos 0°+tan 45°-cos230°+sin 30°
=3/4-1+1-3/4+1/2=1/2.
(2)原式=√(1+cos"(" 180"°-" 80"°)" sin"(" 90"°" +80"°)" )/(cos"(" 360"°" +10"°)" +√(1"-" sin^2 "(" 180"°-" 10"°)" ))
=√(1+"(-" cos80"°)" cos80"°" )/(cos10"°" +√(1"-" sin^2 10"°" ))=√(1"-" cos^2 80"°" )/2cos10"°" =sin80"°" /2cos10"°" =cos10"°" /2cos10"°" =1/2.
(3)方法一 当n=2k,k∈Z时,
原式=(sin"(" α+2kπ")" +sin"(" α"-" 2kπ")" )/(sin"(" α+2kπ")" cos"(" α"-" 2kπ")" )=2/cosα.
当n=2k+1,k∈Z时,
原式=(sin"[" α+"(" 2k+1")" π"]" +sin"[" α"-(" 2k+1")" π"]" )/(sin"[" α+"(" 2k+1")" π"]" cos"[" α"-(" 2k+1")" π"]" )=-2/cosα.
所以原式={■(2/cosα "(" n"为偶数)," @"-" 2/cosα "(" n"为奇数)." )┤
方法二 原式=("(-" 1")" ^n sinα+"(-" 1")" ^n sinα)/("(-" 1")" ^n sinα"•(-" 1")" ^n cosα)=(2"(-" 1")" ^n)/cosα.
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诱导公式五六PPT，第四部分内容：思想方法
诱导公式在三角形中的应用
典例在△ABC中,若sin(2π-A)=-√2sin(π-B),√3cos A=-√2cos(π-B),求△ABC的三个内角.
分析:首先利用诱导公式化简已知的两个等式,然后结合sin2A+cos2A=1,求出cos A的值,再利用A+B+C=π进行求解.
解:由已知得{■(sinA=√2 sinB" ①," @√3 cosA=√2 cosB" ②," )┤
由①2+②2,得2cos2A=1,
∴cos A=±√2/2.
当cos A=√2/2时,cos B=√3/2.
又A,B是三角形的内角,∴A=π/4,B=π/6.
∴C=π-(A+B)=7/12 π.
当cos A=-√2/2时,cos B=-√3/2.
又A,B是三角形的内角,
∴A=3/4 π,B=5/6 π,A+B>π,不符合题意.
综上可知,A=π/4,B=π/6,C=7/12 π.
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诱导公式五六PPT，第五部分内容：随堂演练
1.若sin(π/2+θ)<0,且cos(π/2 "-" θ)>0,则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为sin(π/2+θ)=cos θ<0,cos(π/2 "-" θ)=sin θ>0,所以角θ的终边落在第二象限.
答案:B
2.若sin(π/4 "-" α)=3/4,则cos(π/4+α)=( )
A.3/4 B.-3/4 C.√7/4 D.-√7/4
解析:cos(π/4+α)=cos[π/2 "-" (π/4 "-" α)]
=sin(π/4 "-" α)=3/4.
答案:A
3.已知sin 10°=k,则cos 620°=( )
A.k B.-k
C.±k D.不能确定
解析:cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=-cos 80°=-sin 10°=-k.
答案:B
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