《奇偶性》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断(或证明)函数奇偶性.
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奇偶性PPT，第二部分内容：自主预习
一、偶函数
1. (1)观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?
提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.
(2)对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系?
提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.
(3)一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
2.填空
(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
(2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.
3.做一做:
下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x
C.f(x)=
D.f(x)=x+x3
答案:A
二、奇函数
1. (1)观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象(如图),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?
提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.
(2)对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).
(3)一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.
2.与偶函数定义类似,试仿照填空
(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.
3.做一做
(1)函数f(x)= -x的图象关于( )对称.
A.y轴 B.直线y=-x
C.坐标原点 D.直线y=x
(2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
解析:(1)因为f(x)= -x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.
(2)选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
答案:(1)C (2)B
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奇偶性PPT，第三部分内容：探究学习
判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(2x^2+2x)/(x+1);
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=√(1"-" x^2 )+√(x^2 "-" 1);
(4)f(x)={■(x"(" 1"-" x")," x<0"," @x"(" 1+x")," x>0"." )┤
分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑(f"(-" x")" )/(f"(" x")" )与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
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奇偶性PPT，第四部分内容：思想方法
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)<f(x1),
所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
答案:B
反思感悟 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
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奇偶性PPT，第五部分内容：随堂演练
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},
根据奇函数的定义域关于原点对称,
所以a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:A
2.函数y=(x^2 "(" x+4")" )/(x+4)( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
答案:D
3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
答案:B
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,
∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
答案:4
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