《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)

《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)

第一部分内容：学 习 目 标

1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.

2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)

3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)

核 心 素 养

1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.

2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.

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三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

两角和与差的正切公式

名称       简记符号     公式                   使用条件

两角和的正切T(α＋β) tan(α＋β)＝___________α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且tan α•tan β≠1

两角差的正切T(α－β) tan(α－β)＝___________α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α•tan β≠－1

初试身手

1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)

A．2　　　B．1　　　　

C.12　　　D．4

2．求值：tan11π12＝________.

3．已知tan α＝2，则tanα＋π4＝________.

4.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________.

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三角恒等变换PPT，第三部分内容：合作探究提素养

两角和与差的正切公式的正用

【例1】(1)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝________.

(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.

[思路点拨]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.

(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．

规律方法

1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：

(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．

(2)符号规律：分子同，分母反．

2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：

(1)计算待求角的正切值．

(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．

(3)根据角的范围及三角函数值确定角．

两角和与差的正切公式的逆用

【例2】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.

(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.

[思路点拨]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．

规律方法

公式Tα±β的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.

如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.

要特别注意tanπ4＋α＝1＋tan α1－tan α，tanπ4－α＝1－tan α1＋tan α.

跟踪训练

2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)

A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)

B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)

C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)

D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)

两角和与差的正切公式的变形运用

[探究问题]

1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？

提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．

2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?

提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－ba1－ca＝－ba－c.

课堂小结

1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋π2 (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．

2．注意公式的变形应用．

如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝tan α＋tan βtanα＋β，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝tan α－tan βtanα－β等.

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三角恒等变换PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)

(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．(　　)

(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)•(1－tan αtan β)．(　　)

[提示]　(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．

(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．

(3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．

2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)

A.17　　　B．－17

C．1　　　D．－1

3．若tanπ3－α＝3，则tan α的值为________．

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