《集合间的基本关系》集合与常用逻辑用语PPT
第一部分内容：课标阐释
1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.
2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.
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集合间的基本关系PPT，第二部分内容：探究学习
一、子集与真子集
1.观察下面实例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合;
③设A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};
④A={x|x是长方形},B={x|x是平行四边形};
⑤A={x|x>3},B={x|x>2};
⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.
(1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗?
提示:是.称集合A是集合B的子集.
(2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?
提示:③⑥两对集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);①②④⑤这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.称集合A是集合B的真子集.
(3)上述集合A,B的关系能不能用图形直观形象地表示出来?
提示:能.如图,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
(4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗?
提示:表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是矩形、圆、椭圆等,也可以是其他封闭曲线.
(5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点?
提示:优点在于易产生清晰的视觉印象,能直观地表示集合中元素的构成以及集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性质不明显.
2.填空
3.做一做
(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则( )
A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P
(2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则( )
A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B
(1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.
答案:C
(2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B⫋A.
答案:A
二、集合相等
1.(1)在子集的定义中,能否理解为子集A是集合B中的“部分元素”所组成的集合?
提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素).
(2)本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?
提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
(3)本课时“一”中提出的各对集合中,③⑥这两对集合中的元素一样吗?它们之间存在什么样的包含关系?
提示:③中,由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一个元素都是集合B中的元素,则A是B的子集;同时,集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,则B也是A的子集,即A和B两集合中的元素都是相同的.也就是说集合A与B相等.同理可以说明⑥中两个集合的元素也完全相同,即两集合相等.
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做
已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为_________.
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.
当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.
故m=0.
答案:0
三、空集
1.(1)观察下面四个集合:①方程x2+1=0的实数根组成的集合;②不等式3x2+2<0的解组成的集合;③比5大1的负数组成的集合;④边长分别为1,1,4的三角形组成的集合.它们有什么共同特点?你还能举出类似的例子吗?
提示:这4个集合中没有适合条件的元素.即集合中没有任何元素.
(2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢?
提示:空集.
(3)空集与任何集合之间有什么关系?与非空集合呢?
提示:规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.填空
一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.
3.做一做
下列四个集合中,是空集的是( )
A.{0} B.{x|x>8且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}
答案:B
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集合间的基本关系PPT，第三部分内容：例题解析
写出给定集合的子集
例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?
分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为⌀;
含有一个元素的子集为{0},{1},{2};
含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};
含有三个元素的子集为{0,1,2}.
故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.
(2)由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
变式训练1若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B
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集合间的基本关系PPT，第四部分内容：思想方法
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用
对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若A⊆B或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论.
②因为集合中的元素是无序的,由A⊆B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.
特别提醒 此类问题易错点有三个:①忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.
(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:
①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性.
②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
典题已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},是否存在实数a,使得A⊆B.若存在,求出实数a的取值范围.
分析:对参数a进行讨论,写出集合A、B,借助于数轴,求出a的取值范围.
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集合间的基本关系PPT，第五部分内容：随堂演练
1.集合{x,y}的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(法1)集合{x,y}的子集有⌀,{x},{y},{x,y},共有4个.
(法2)集合内有2个元素,子集个数为22=4个.
答案:D
2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )
解析:由N={-1,0},知N⫋M,故选B.
答案:B
3.已知集合C={x|x是奇数},D={x|x是整数},则C_________D.
解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以C⫋D.
答案:⫋
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