《充分条件与必要条件》集合与常用逻辑用语PPT
第一部分内容：课标阐释
1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.
2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.
3.掌握证明充要条件的一般方法.
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充分条件与必要条件PPT，第二部分内容：探究学习
一、充分条件与必要条件
1.(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?
提示:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示:说明由条件p不能推出结论q,记作p q.
(3)观察如下电路图,条件p:“开关A闭合”,结论q:“灯泡B亮”.当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗?说明了什么?如果“灯泡B不亮”,“开关A可以闭合”吗?
提示:一定会亮.说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就足够了.
如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合.
(4)下面电路中,条件p:“开关A闭合”成立,结论q:“灯泡B亮”成立吗?
提示:不成立.也就是说“若p,则q”为假命题.
2.填空
一般地,“若p则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
3.做一做
用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的_________,q是p的_________.
(2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的_________,q是p的_________.
答案:(1)充分条件 必要条件 (2)必要条件 充分条件
二、充要条件
1.(1)我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”?
提示:不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有无数个.
(2)由前面的知识,我们知道“x>0”是“x>1”的必要条件.那么“x>1”的必要条件是否只能是“x>0”?
提示:不是.例如“x>1”还能推出“x>-1”“x≥ ”等,这些都是“x>1”成立的必要条件.
(3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件?
提示:p⇒q,q⇒p.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条件,q也是p的必要条件.
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充分条件与必要条件PPT，第三部分内容：例题解析
探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断
例1(1)对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0,
由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0” “x2+y2=0”.
(2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;
但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
(3)∵A∩B=A⇔A⊆B,∴“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.
答案:(1)A (2)A (3)C
延伸探究 例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?
解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充要条件.
变式训练1设A、B为两个互不相同的集合.命题p:x∈A∩B;命题q:x∈A或x∈B.则p是q的( )条件.
A.充分必要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分又不必要
解析:若命题p:x∈A∩B成立,命题q:x∈A或x∈B一定成立;若命题q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要条件.
答案:B
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充分条件与必要条件PPT，第四部分内容：随堂演练
1.“a=-3”是“|a|=3”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
2.“x>2”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的_________条件.
解析:a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0;a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0,故为充要条件.
答案:充要
4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明:充分性:
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2= <0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2= <0,即ac<0,
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
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